Los elementos básicos de un polígono son:
• los lados, que son los segmentos de recta iguales que limitan la superficie del polígono y cuyo número determina el nombre del polígono, pues si tiene cinco lados se llama pentágono, si tiene seis, hexágono, etcétera.
• el centro de un polígono es el punto de equidista de sus vértices.
• los vértices son los puntos donde se unen dos lados. Un polígono tiene tantos vértices como número de lados.
• el radio del polígono es la distancia del centro a cada uno de los vértices del polígono. Es,además, el radio de la circunferencia circunscrita.
• el apotema es la longitud del segmento perpendicular que va del centro del polígono al polígono al punto medio de cada uno de sus lados.
• diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
• un ángulo central es el ángulo con vértices en el centro y cuyos lados son dos radios consecutivos.
• un ángulo interior es un ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono.
• un ángulo externo o exterior es formado por la prolongación de un lado y su lado contiguo. Es el suplemento de su ángulo interior.
RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS DE UN POLIGONO Y NÚMERO DE DIAGONALES
I.une el centro del polígono con cada uno de los vértices.
a) ¿cuánto vale la suma de los ángulos centrales de este polígono?
360°
b) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el valor de un ángulo central de un polígono?
a= 360°/n
a=360°/5
=72°
c) En general, ¿cómo puede calcularse el valor de un ángulo central de un polígono?
Dividiéndo 360 entre 5 el número de lados
d) Expresa el resultado anterior por medio de una fórmula.
5×72=360°
5x=360°
II.Observa el pentágono de la familia figura anterior y responde lo que se te indica
a)¿cómo se obtiene el valor de cada uno de los ángulo interiores del polígono?
Con la formula B=180°(n-2)/n
b)¿cuánto vale la suma de los ángulos interiores del polígono?
Si=NB
Si=5108°
=540
c)En general,¿ cómo se obtiene la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?
d)Encuentra una fórmula para en ello
III.De acuerdo a lo que observastes en el pentágono de la figura anterior responde brevemente lo que se te indica.
a)¿cómo puede calcularse el valor de cada uno de los ángulo exteriores?
b)¿cuál es el valor de la suma de los ángulo externos del polígono de la figura?
c)Encuentra una fórmula para obtener la suma de los ángulo externos de cualquier polígono.
IV.Traza las diagonales por el vértice marcado de cada una de las siguientes figuras.
POLÍGONO IRREGULARES; CUADRILÁTERO
I.observa los siguientes cuadriláteros.
a) coloca el nombre de cada uno de los cuadriláteros.
b) describe brevemente cada uno de los cuadriláteros.c) ¿que características tienen en común?
d)¿que diferencias?
II.Traza las diagonales de cada uno de ellos.
a)¿que características comunes tienen las diagonales de cada uno de ellos?
b)¿que diferencias?
c) ¿En algún caso, las diagonales de un cuadrilátero son iguales?
d)En algún caso, las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares?¿En cuál?
III.Sin medir los ángulo, verifica que la suma de los ángulo interiores de un cuadrilátero es 360°,y que la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero (uno por lado) es,también 360°
Existen cuadriláteros que tinen pares de lados opuestos iguales y paralelos, llamados paralelogramos pero distintos, llamados trapecios, y cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos, llamados trapezoides.
Una de las propiedades características de cualquier cuadrilátero es que la suma de sus " ángulos internos es 360°"
PERÍMETRO Y ÁREA
El perímetro de un cuadrilátero cualquiera es simplemente la suma de las medidas de sus lados, pero el cálculo de su área, en algunos casos, no es tan simple determinarla.
En el caso de un rectángulo o de un cuadrado, el área se obtiene multiplicando, directamente, la medida de sus lados.
"RECTÁNGULO"
Largo × largo.
A=largo×ancho
A=bh
"CUADRADO"
Lado × lado
A=LL
A=L²
En el caso del rombo,podemos dividirlo en dos triángulos congruentes por medio de sus diagonal menor, calcular el área de cada una de ellas y al final sumarcarlas; es decir:
Sean D=NQ y d=MP las diagonales mayor y menor de un rombo MNPQ.
Al trazar la diagonal MP dividiendo al rombo en los triángulos los congruentes MNP y MQP,los cuales tienen la misma superficie.
El área del triángulo MNP es:
A=(MP)(ON)/2=d(D/2)/2=Dd/4
A=2(Dd/4)
A=Dd/2
Es decir,el área del rombo es el semiproducto de sus diagonales.
El área del romboide puede determinarse de la siguiente manera:
Trazamos los segmentos perpendicular DE=FB=h a los lados paralelos DC y AB.los triángulos ADE y FBC son congruentes, por lo que si se hace coincidir el lado AD con BC se forma un rectángulo cuyas dimensiones son b y h boide es equivalente a la del rectángulo; es decir:
A= bh
Consideramos ahora un trapecio ABCD y sean B=PQ y b=SR sus bases mayor y menor, respectivamente. Sea h la distancia entrada sus lados paralelos.
Si prolongamos la base menor SR hasta el punto E, de tal manera que RE=PQ y la base mayor PQ hasta el punto F, tal manera que QF= SR, entonces el cuadrilátero PFES es un romboide, ya que los lados paralelos SE y PF son iguales.
Por otra parte, el trapecio QEFR es congruente con el trapecio original PQRS,lo que sus áreas son iguales. El área del romboide es, por lo tanto, el doble del área del trapecio; es decir, el área del trapecio es la mitad del área del romboide. Así:
A=(PQ+QF)h/2= (PQ+SR)h/2
A=(B+b)h/2
Para el caso de un trapezoide en general, el área puede calcularse dividiéndole en dos triángulos por medio de sus diagonales y calculando el área de cada uno de los triángulos formados, ya sea por la fórmula básica o por la fórmula de herón.
En la siguiente tabla se presentan las fórmulas para calcular el área de algunos de los cuadriláteros más usados.
EJEMPLOS:
1.En la siguiente figura,la diagonal AC es bisectriz de los ángulos DAB y DCB. Haya x Y y
Solución. Puesto que la diagonal mostrada es una bisectriz, los ángulos 4x-5 y 2x+15 son iguales; es decir:
4x-5= 2x+15 de donde,despejando la incógnita
4x-2x=15+ 5
2x =20
x=20/2
x=10
Por otra parte, los ángulos adyacentes son suplementarios, por lo que:
y+ 4x-5+2x+15=180°
y+6x+10=180°
y=170°-6x
y=170°-6(10)
y=110°
2.El trapecio de la siguiente figura anterior es isósceles. Halla el valor de x Y y.
Solución. Puesto que el trapecio es isósceles, los ángulos en la base mayor son iguales, es decir:
5x-40= 20x+ 20,de donde resolviendo la ecuación, tenemos.
5x-40=2x+20
5x-2x=20+ 40
3x=60
3x=60/3
x=20
Y como los ángulos adyacentes son suplementarios, y+5x-40=180°,de donde sustituyendo y despejando:
y=220-5x=220-5(20)
y=220 -100=120
3.calcula el área de un terreno cuadrado cuya diagonal mide 25m.
Solución: sea ABCD un cuadrado de Lado × cuya diagonal AC mide 25m, entonces, aplicando el teorema de pitagoras al triángulo ABC tenemos:
x²+x²=(25m)²
2x²=625m²
x²=625m²/2=312.5m²
Puesto que el área del cuadrado es A=x²,el área buscada es 312.5m²
4. Calcula el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases menor y mayor tienen medidas de 25 y 45 cm,respectivamente y una área de 525 cm²
Solución. Sea ABCD un trapecio isósceles con las medidas indicadas.
Puesto que el área del trapecio es 525 cm², tenemos que:
525cm²=(45cm+25cm)h/2,de donde desarrollando.
Y despejando obtenemos:
2(525cm²)=(45cm+25cm)h
1050 cm²=(70cm)h
h=1050cm²/70cm
h=15cm
Por otra parte, como el trapecio es isósceles, al trazar segmentos perpendicular por R y S, éstos limitan segmentos iguales x sobre la basa mayor, de tal manera que:
X+25cm+x=45,de donde
2x=45cm-25cm=20cm
x=10cm
Ahora, por el teorema de pitagoras al triángulo SPT,obtenemos.
L²=x²+h²
L²=(10cm)²+(15cm)²
L²=100cm²+225cm²
L=√325cm²=√25(13)cm²
L=5√13cm
Por lo tanto,el primetro es:
P=2(5√13cm)+45cm+25cm
P=70cm+10√13cm
P=(70+10√13cm)
ACTIVIDAD
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra lo q se te pide.
1.En el siguiente cuadrado, halla el valor de x
3x+8=38
3x=38-8
x=30
x=30/3
=10
2. En que paralelogramo de la figura,halla el valor de x y y
3x+7+4-6=y+17+3+5,despejamos
3x+7=4x-6
3x-4x=-6+7
x=13
3y+5=-y+17
3y-y=17-5
2y=12/2
y=6
3. En el paralelogramo de la figura, calcula los valores de x y y.
4. En el rombo de la siguiente figura, calcula los valores de x y y
x+y=12
2x+y=12
3y=12
y=12/3
y=4
x+y
2y+y
2(4)+4=12
8+4=12
2x-y
2(2y)-y
4y-y
4(4)-4
16-4=12
5. En el paralelogramo de la figura, halla el valor de x y y.
6. Si ED=2CE, y AD mide 16,halla el perímetro y el área del rombo.
AD=16
AD=2ED
ED=AD/2=16/2=8
8/2=4
P=4(8.44)=36.76
a²+b²=c²
4²+8²=c²
16+64=c²
√80=c²
=8.9
A=(16)(8)
A=128/2
A=64
7. Si AC=60cm y BC=36cm,halla el valor del área sombreada.
8. Sabiendo que las diagonales del cuadrilátero ABCD son perpendiculares y que miden 20 y 25 cm,calcular el área de dicho cuadrilátero.
9. Halla el área sombreada.
ACTIVIDAD
"Ejercicios de reafirmación"
Aplicando las características y propiedades de los polígonos regulares, calcula lo que se te indica.
1. Considera un polígono regular de 9 lados.
a). Calcula el valor de su ángulo
Central.
b). La suma de sus ángulos interiores.
c). El número de diagonales.
a).
360°/n
360°/9
=40
b).
B=180°(n-2)/n
B=180°(9-2)/9
B=180°(7)/9
B=1,260/9
=140
c).
Nd=n(n-3)/2
Nd=9(9-3)/2
Nd=9(6)/2
Nd=54/2
=27
2. Encuentra el ángulo central de un polígono regular que tiene 20 diagonales.
Nd=n(n-3)/2
20=n(n-3)/2
20(2)=n(n-3)
40=n(n-3)
40=8(8-3)
40=8(5)
40=40
S=360/n
S=360/8
=45
3. Calcula el área de un hexágono regular cuyo perímetro es 48cm.
4. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono cuyo ángulo central es 30°
360/n
360/12
=30
Nd=n(n-3)/2
Nd=12(12-3)/2
Nd=12(9)/2
Nd=108/2
=54
Si=nB
Si=1254
Si=648
5. Calcula el área de un pentágono regular con un radio de 20cm y 23.5
6. Calcula el número de diagonales de un polígono que tiene un ángulo interno de 120°.
7.calcula el valor del ángulo central de un polígono cuyas suma de ángulo interiores es 1,260°.
8. Calcula el área de un hexágono cuya apotema es 10√3.
A=√x3(2)
x=10(2)
10√3=x√3
5×2=70
10×6=60
A=pa/2
A=1/2×60×5√3
A=30×
Porfavor necesito que este resuelto hasta la pagina 176 urgente porfavoooor
ResponderBorrar